股份有什么作用？
从你的问题标题“分红和股价之间的数学关系”可以看出，你应该还没有学完《公司金融》这门课，因此我就用《公司金融》中的理论来回答你的这个问题。 一家公司想要经营得好、持续发展，就必须要不断进行经营活动，比如生产商品、提供服务或者出售资产等，这些活动最终可以理解为通过企业利润(profit)创造现金流(cash flow)，而企业一旦有了现金流，就可以通过各种方式分配给股东，包括发放股利、回购股票以及派发股票红利等等。
然而，公司在发展过程中往往会遭遇各种风险，有些风险是可以预见的，比如市场波动的风险；也有些风险是无法预见的，比如技术颠覆的风险。当面临无法预见的风险时，投资者往往需要支付更高的溢价买股权，因为此时股权的预期收益较高。为了简单起见，假设企业只面临市场波动(market risk)一种风险并且其预期回报率符合韦伯-佩特森假定(Weibull-Peterson Hypothesis)，那么该公司普通股的预期收益率可以用下式计算： 其中，γ是贝塔系数；β是市场波动率；r是无风险利率；T是企业预计寿命；α是风险调整系数且>0.
现在来看你的问题。首先，我们需要找到一个合理的折现率r。假设无风险利率为3.75%且风险补偿系数α取6%，则贝塔系数γ=2；进一步，根据上述公式，我们可以算出股票的预期收益率为19%。当然，这只是一个理想情况下的计算结果。
接下来我们看看分红对股价的影响。假如企业第一年盈利且全部用来分红，即d1=p1–t，其中p1表示第一年的每股股利，t表示所得税税率。第二年继续盈利并继续分红，那么第二年的每股股利是d2=p2–t，其中p2表示第二年的每股股利。如果企业的盈利一直用于分红，即每年分红的数额等于每年的净利润，那么第n年时的每股股利就是dn= pn–tn，其中pn代表第n年的净利润，tn代表第n年的所得税税率。
这里需要强调的是，虽然前n年公司的现金流净额均为正数并且全部用来分红，但这并不妨碍第n+1年时公司有充足的现金流并且不用于分红。这是因为企业经营具有连续性和累积性，有时候前期投入的生产设备会在后期带来现金回流。 基于上述分析，如果我们以r作为折现率并且假设企业永远持续经营，那么分红对股价的影响可表述为： 如果将r看做是风险调整后的实际收益率，则上式意味着分红之后股价的期望值并不会发生变化。但是，如果我们将此式用于测算某一时点分红后股价的预测值，则得出结论：分红导致股价下跌！这就是说，在风险中性的情况下，分红不会改变股票的预期收益率，但会增加股票的持有期收益率。可见，风险对分红与股价之间的关系有着重要影响。